微分方程与高中物理问题

最近学习了微分方程，那么就试着拿他来解决一些问题吧。

模型一：阻力与速度成正比的平抛运动

来源

这道题可以使用配速法求解，但是这样的方法需要一定的思维量，没有这么简单直接。

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计算

Q：一个质量为$m$的小球自$A$点以水平速度$v_{0}$抛出，在重力和空气阻力作用下，近一段时间后落在$B$点。小球在空中所受的空气阻力满足

$$\mathbf{f} =-k\mathbf{v}$$

其中$k$为正的常量，$v$为小球在运动中的速度，试求水平与竖直方向上位移、速度、加速度的表达式。

A：
首先将速度与阻力进行正交分解，阻力正交分解后可以得到

$$fcos\theta=kvcos\theta=kv_{x}$$

同理得到$fsin\theta=kv_{v}$
列出牛顿第二定律

$$ma_{x}=-kv_{x}$$ $$ma_{y}=kv_{y}-mg$$

解这两个微分方程，前一个可以直接解出：

$$v_{x}=e^{-\frac{k}{m}t}$$

后一个我们将其改写为

$$\frac{\mathrm{d} v_{y}}{\mathrm{d} t} =\frac{k}{m} v_{y}-g$$ $$\frac{\mathrm{d} v_{y}}{\frac{k}{m} v_{y}-g} = \mathrm{d} t$$

求积分

$$\int \frac{\mathrm{d} v_{y}}{\frac{k}{m} v_{y}-g} = \int \mathrm{d} t$$

换元，设$u=\frac{k}{m}v_{y}-g$，有$dt=\frac{m}{k}du$，积分化为

$$\int \frac{1}{u} \frac{m}{k}\mathrm{d}u = \int \mathrm{d} t$$

得

$$\frac{m}{k}ln(g-\frac{k}{m}v_{y} )+C=t$$

当$t=0$，$v_{y}=0$，解出

$$C=-\frac{m}{k}ln(g)$$

得

$$\frac{k}{m}t=ln(\frac{k}{mg}v_{y}-1 )$$

最后解得

$$v_{y}=\frac{mg}{k}(1-e^{-\frac{k}{m}t })$$