有关几道物理题目的思考

前言

刚刚考完期末，复习的时候看见了几道有趣的题目，在此分享我的解题思路。

第一题

根据图上我们可以看出，等距喷洒的水流落地后变得密集，所以排除A项。
以圆心喷洒出的抛物线落点为参考：假如p方向落点更密集，则p方向被压缩的更多，那么形状的p端更扁；（即为C）
同样，假如q方向落点更密集，则q方向被压缩的更多，那么形状的q端更扁；（即为D）
如果p和q方向落点一样密集，那么最后的图形应该沿p和q连线的中垂线对称。（可能是B）
那么问题就转变为，将抛物线等距向上向下平移，它们与x轴的交点坐标究竟哪个变化更大。

考场上我们可以画图大概看出来（或者简单代数计算），发现向上平移的时候x轴的交点坐标变化更小，这也就说明q方向压缩更多，图形更扁。

我们还可以稍微建立一个模型（解析式如图）
简单解出：

$$x_{uppper}=\pm \sqrt{1+a}$$ $$x_{middle}=\pm 1$$ $$x_{lower}=\pm \sqrt{1-a}$$

取正值比较，发现其实等价于函数$\sqrt{x}$在$x=1$两端的变化率。
而$x=1$就取决于我们一开始定的未平移函数，即$y=-x^2+1$
那么问题就转换成：
对于函数函数$y=\sqrt{x}$，$\forall x \in \mathbb{R_{+}} $有

$$\frac{f(x+a)-f(x)}{a} > \frac{f(x)-f(x-a)}{a}$$

因为$y’=\frac{1}{2\sqrt{x} } $为减函数，平均变化率一直减小，因此该结论成立。
题目答案：

第二题

这道题真是史上最坑的题。。。没有之一。。。
智学网上给他的难度是易，但是显然这道题懵了我一个晚上

废话少说，看题目。

补充一个所谓二级结论：
在动摩擦因数为$\mu$的斜面上滑下的物块，其摩擦力做功满足

$$W_{f}=\mu mgx$$

其中$x$为物体在水平面投影的移动距离
证明很简单我就不写了

题目的答案就隐藏在选项A之中：（不含A点）
没错答案就是D，但不是停在斜面外，而是根本不会运动，直接停在A点。
千算万算结果忘了$\mu < tan \alpha$啊啊

这个版本的答案给的也是相当不清楚，完全没有挑明为什么

我们可以分情况讨论：
设$OC=s$
首先从第一次A→C可以列出条件式子

$$mgh=\mu mgs$$ $$\mu =\frac{h}{s}$$

接下来我们从第二次的A→停止点列式：
设第二次斜面倾角为$\alpha$
①停在斜面上

$$\mu mgs'=mgs'tan\alpha$$

即得

$$\mu =tan\alpha$$ $$\frac{h}{s} =tan\alpha$$

根据图可知此时B’与C重合

②停在斜面外

$$\mu mgs'=mgh$$ $$\mu s'=h$$ $$s'=s$$

这说明只有B’在OC之间才能停在斜面外

③不运动
要想不运动肯定得满足$\mu > tan \alpha$
即

$$tan\alpha < \frac{h}{s}$$

这就是题目的情况了

第三题

这道题只是引发了我一个疑问：
假设有质量一大一小两个小球A和B，放在水平面上
假如我认为该水平面是零势能面，那么它们的重力势能都一样为零。
但是假如我把天上或者地下作为零势能面，他们的重力势能就不一样，可能是A大于B，也可能是B大于A
这有点违反我的认知，但是仔细想想似乎也没有什么问题，零势能面的选取会改变物体的势能，不同的物体的变化量不一样，所以才要求先定零势能面再讨论问题。